Pas presque égal. Pas égal à la limite. Égal. C'est le même nombre écrit de deux façons, et la plupart des gens refusent d'y croire, même avec la preuve sous les yeux. Ce refus en dit long sur ce qu'est un nombre.
Posez la question autour de vous : est-ce que 0,999…, avec des 9 à l'infini, est égal à 1 ? La réponse majoritaire est non. « Il manque toujours un petit quelque chose. » « Ça s'en approche, mais ça n'y arrive jamais. » C'est faux, et ce n'est pas une opinion : c'est aussi établi que deux et deux font quatre. Mais le refus est intéressant, parce qu'il vient d'une idée fausse sur ce que les chiffres après la virgule veulent dire.
Trois preuves en trente secondes
La première est celle qu'on apprend à l'école. Un tiers s'écrit 0,333… avec des 3 à l'infini. Personne ne conteste ça. Multipliez par trois des deux côtés : trois tiers d'un côté, 0,999… de l'autre. Or trois tiers, c'est 1.
La deuxième utilise un peu d'algèbre. Appelez x le nombre 0,999…. Multipliez par dix : 10x vaut 9,999…. Retirez x : 10x moins x fait 9x, et 9,999… moins 0,999… fait 9. Donc 9x égale 9, donc x égale 1.
La troisième est la plus convaincante pour les sceptiques. Si deux nombres sont différents, il y a toujours un nombre entre les deux : leur moyenne, par exemple. Quel nombre y a-t-il entre 0,999… et 1 ? Essayez d'en écrire un. Il devrait commencer par 0,999… et avoir, quelque part, un chiffre plus grand que 9. Il n'existe pas de chiffre plus grand que 9. Donc il n'y a rien entre les deux. Donc c'est le même nombre.
Pourquoi le cerveau résiste
Les preuves ne convainquent pas, et c'est révélateur. L'objection la plus fréquente est : « 0,999… n'arrive jamais à 1, il s'en approche. » Cette phrase traite 0,999… comme un processus, quelque chose qui avance, qui ajoute des 9 l'un après l'autre. Mais un nombre n'avance pas. 0,999… n'est pas en train de s'écrire. Tous ses 9 sont déjà là, tous en même temps. C'est un objet fini, désigné par une écriture infinie.
L'autre objection est qu'il « manque un infinitésimal », une quantité infiniment petite mais pas nulle. Le problème est que dans les nombres réels, ceux qu'on utilise pour mesurer le monde, il n'existe pas de quantité positive plus petite que toutes les autres. Si vous me donnez un nombre positif, aussi minuscule soit-il, je peux en trouver un plus petit. La seule quantité qui est plus petite que tout nombre positif, c'est zéro. L'écart entre 0,999… et 1 est plus petit que tout nombre positif. Donc il est nul.
Ce qu'un nombre est vraiment
La vraie réponse est dans la définition. Une écriture décimale infinie n'est pas une addition sans fin, c'est une limite : la valeur dont les sommes partielles 0,9 puis 0,99 puis 0,999 se rapprochent autant qu'on veut. Cette valeur est 1. C'est une définition, posée au XIXe siècle par Cauchy, Weierstrass et Dedekind, quand les mathématiciens ont décidé de dire précisément ce qu'ils entendaient par « nombre réel ». Avant eux, la question n'avait pas de réponse nette, parce que la question n'avait pas de sens net.
Il faut l'admettre : rien n'oblige à construire les nombres ainsi. Il existe des systèmes, les nombres hyperréels d'Abraham Robinson par exemple, où des infinitésimaux non nuls existent. Mais dans ces systèmes, 0,999… ne désigne tout simplement pas la même chose, et les règles habituelles de la division changent aussi. Si vous voulez les nombres avec lesquels on calcule une trajectoire ou un taux d'intérêt, alors 0,999… vaut 1.
Dieu a créé les nombres entiers, tout le reste est l'œuvre de l'homme.
Leopold Kronecker, 1886
La leçon
Ce petit problème n'a aucune utilité pratique. Personne n'a jamais eu besoin d'écrire 0,999… plutôt que 1. Son intérêt est ailleurs : il montre que l'écriture d'un nombre et le nombre lui-même sont deux choses différentes, et qu'un même objet peut avoir plusieurs noms. Un demi et 0,5 sont le même nombre. 1 et 0,999… aussi. La résistance qu'on éprouve n'est pas mathématique. C'est l'intuition que l'infini doit laisser une trace, un reste, un petit quelque chose. En mathématiques, l'infini bien manié ne laisse rien du tout.
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