En 1874, un mathématicien allemand a prouvé qu'il existe plusieurs infinis, et que certains sont plus grands que d'autres. Ses collègues l'ont traité de corrupteur de la jeunesse. Il avait raison, et sa preuve tient en une page.
Combien y a-t-il de nombres entiers ? Une infinité. Combien y a-t-il de nombres pairs ? Une infinité aussi. Est-ce la même ? On aurait envie de dire qu'il y a deux fois moins de pairs, puisqu'on en saute un sur deux. Et pourtant on peut les mettre en face : 1 avec 2, 2 avec 4, 3 avec 6, et ainsi de suite, sans que personne reste sans partenaire. Deux ensembles qu'on peut apparier ainsi ont la même taille. C'est la seule définition raisonnable, et elle donne des résultats bizarres : une partie peut être aussi grande que le tout.
Georg Cantor a pris cette bizarrerie au sérieux. Et il a découvert qu'elle avait une limite.
L'hôtel sans chambre libre
Imaginez un hôtel avec une infinité de chambres numérotées 1, 2, 3, et ainsi de suite, toutes occupées. Un client arrive. Pas de problème : on demande à chacun de passer dans la chambre suivante, et la chambre 1 se libère. Un car de mille clients arrive : chacun décale de mille. Un car infini arrive, avec des passagers numérotés : on envoie l'occupant de la chambre n dans la chambre 2n, ce qui libère toutes les chambres impaires, une infinité. Hilbert a inventé cette image pour montrer à quel point l'infini des entiers est accommodant. Tout ce qu'on peut numéroter y trouve de la place. Cantor a appelé ça le dénombrable : tout ensemble qu'on peut énumérer, même les fractions, même les nombres avec des racines, a exactement la même taille que les entiers.
La diagonale
Puis il a regardé les nombres réels, ceux qu'on écrit avec une virgule et une infinité de décimales. Peut-on les numéroter ? Supposons que oui. Supposons qu'on ait une liste complète de tous les nombres entre 0 et 1 : le premier, le deuxième, le troisième, jusqu'à l'infini. Cantor construit alors un nouveau nombre de la façon suivante. Sa première décimale est différente de la première décimale du premier nombre de la liste. Sa deuxième décimale est différente de la deuxième décimale du deuxième nombre. Sa troisième est différente de la troisième du troisième. Et ainsi de suite, en descendant la diagonale.
Ce nouveau nombre est bien un nombre entre 0 et 1. Est-il dans la liste ? Il ne peut pas être le premier, puisqu'il en diffère à la première décimale. Ni le deuxième, ni le troisième, ni le millionième : il diffère de chacun à au moins une position. Il n'est donc nulle part dans la liste, qui était pourtant supposée complète. Contradiction. Aucune liste ne peut contenir tous les réels. Les réels sont plus nombreux que les entiers, au sens strict : il y a un infini plus grand qu'un autre.
La preuve tient en un paragraphe. Elle a été publiée en 1891, sous cette forme, après une première version plus compliquée en 1874. On l'appelle l'argument diagonal, et on le retrouvera partout au XXe siècle, chez Gödel, chez Turing, à chaque fois qu'il faut montrer qu'une chose échappe à toute énumération.
L'essence des mathématiques réside dans leur liberté.
Georg Cantor, 1883
Le prix à payer
Les contemporains n'ont pas aimé. Kronecker, qui dominait les mathématiques à Berlin, considérait que l'infini achevé n'existait pas et que Cantor fabriquait des monstres. Il a bloqué sa carrière et, semble-t-il, la publication de certains de ses articles. Poincaré parlait d'une maladie dont les mathématiques finiraient par guérir. Cantor, isolé dans la petite université de Halle, a passé la fin de sa vie entre ses recherches et des séjours en clinique. Il est mort en 1918, dans une Allemagne affamée par la guerre.
Entre-temps, la génération suivante avait tranché. Hilbert écrira : « Nul ne nous chassera du paradis que Cantor a créé pour nous. » La théorie des ensembles est devenue le socle sur lequel on a reconstruit toutes les mathématiques.
La question qu'il n'a pas pu résoudre
Cantor a montré qu'il y avait au moins deux infinis. Il a ensuite montré qu'il y en avait une infinité, chaque ensemble ayant toujours plus de sous-ensembles que d'éléments. Mais une question l'a obsédé jusqu'à la fin : y a-t-il un infini entre celui des entiers et celui des réels ? Il pensait que non. C'est l'hypothèse du continu. Il n'a jamais réussi à la prouver.
On sait aujourd'hui pourquoi. Gödel a montré en 1940 qu'on ne pouvait pas la réfuter à partir des axiomes habituels des mathématiques. Paul Cohen a montré en 1963 qu'on ne pouvait pas non plus la prouver. La question est indécidable : les mathématiques, telles qu'on les a fondées, ne contiennent pas la réponse. Cantor cherchait quelque chose que son propre paradis ne pouvait pas lui donner. C'est peut-être la plus belle conclusion de l'histoire : il avait ouvert une porte si grande qu'elle donnait sur une pièce dont personne ne connaît la taille.
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