Il y a 2 500 ans, un Grec a démontré qu'une flèche en vol est immobile et qu'Achille ne rattrapera jamais une tortue. Personne n'a réussi à lui répondre pendant deux millénaires. Et sa question n'est toujours pas tout à fait réglée.
Zénon d'Élée vivait au Ve siècle avant notre ère, dans une colonie grecque du sud de l'Italie. On ne possède aucun de ses textes. Tout ce qu'on sait de lui passe par ceux qui ont essayé de le réfuter, Aristote en premier. C'est une drôle de postérité : être célèbre uniquement par les gens qui vous donnent tort.
Zénon était l'élève de Parménide, qui soutenait une thèse folle : le mouvement n'existe pas, le changement est une illusion, l'être est un, immobile, éternel. Tout le monde se moquait. Zénon a décidé de défendre son maître autrement. Au lieu de prouver que le mouvement n'existe pas, il a montré que si vous admettez qu'il existe, vous tombez dans des contradictions. Il a inventé pour ça une méthode qui porte encore son nom : le raisonnement par l'absurde.
Achille et la tortue
Le plus connu de ses arguments met en scène Achille, l'homme le plus rapide de la Grèce, et une tortue à qui on accorde une longueur d'avance. Au moment où Achille atteint le point de départ de la tortue, elle a avancé un peu. Quand il atteint ce nouveau point, elle a encore avancé. Et ainsi de suite. À chaque étape, il reste une distance à franchir. Il y a une infinité d'étapes. Donc Achille ne rattrape jamais la tortue.
Tout le monde sait que c'est faux. Achille la dépasse en quelques foulées. Le problème n'est pas de savoir si la conclusion est vraie. Le problème est de trouver où le raisonnement casse. Et ça, c'est beaucoup plus difficile.
La flèche
Le deuxième argument est encore plus dérangeant. Prenez une flèche en plein vol. À chaque instant, elle occupe un espace exactement égal à elle-même. Elle est là, à cet endroit, à cet instant. Or ce qui occupe un espace égal à lui-même est au repos. La flèche est donc au repos à chaque instant de son vol. Et une somme d'instants où rien ne bouge ne peut pas faire un mouvement.
Aristote a répondu que le temps n'est pas fait d'instants comme un collier est fait de perles. Les instants sont des coupures qu'on fait dans une durée continue, pas des briques qu'on empile. Il a aussi distingué l'infini en acte, qui n'existe pas selon lui, de l'infini en puissance : on peut toujours diviser encore, mais on ne tient jamais l'infinité de divisions dans sa main. C'était une bonne réponse. Ce n'était pas une démonstration.
Deux mille ans plus tard
La réponse mathématique est arrivée au XIXe siècle, avec Cauchy et Weierstrass, qui ont donné un sens rigoureux à l'idée de limite. On peut additionner une infinité de distances de plus en plus petites et obtenir un nombre fini. Un demi, plus un quart, plus un huitième, plus un seizième, et ainsi de suite à l'infini, ça fait exactement un. Pas presque un. Un. Achille parcourt donc une infinité d'étapes en un temps fini, et personne n'a besoin de s'en étonner.
Pour la flèche, c'est le calcul différentiel qui a répondu. La vitesse à un instant donné n'est pas une contradiction, c'est une dérivée : la limite du rapport entre une distance et un temps quand ce temps tend vers zéro. À un instant précis, la flèche a une vitesse, même si elle n'a pas le temps de bouger. Zénon avait raison de dire qu'un instant ne contient aucun déplacement. Il avait tort de croire que ça empêchait le mouvement.
Ce qui se meut ne se meut ni dans le lieu où il est, ni dans celui où il n'est pas.
Zénon d'Élée, cité par Diogène Laërce
Ce qui reste
On pourrait croire l'affaire close. Elle ne l'est pas tout à fait. Les mathématiques ont montré que le raisonnement de Zénon n'entraîne aucune contradiction logique. Elles n'ont pas dit ce qu'est le mouvement. Bergson, au début du XXe siècle, reprochait justement à la science de découper la durée en points et de rater ce qui se passe entre les points. Et la physique moderne se demande encore si l'espace et le temps sont continus, divisibles sans fin comme le supposait Zénon, ou s'il existe une échelle en dessous de laquelle la question n'a plus de sens.
Zénon n'a convaincu personne que la flèche était immobile. Il a fait quelque chose de plus utile. Il a montré qu'une évidence, le mouvement, cachait un problème que personne n'avait vu. Deux mille ans de mathématiques sont sortis de cette gêne. C'est le vrai travail de la philosophie : pas répondre, mais rendre impossible de continuer à ne pas se poser la question.
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